Teorema-teorema pada Fungsi-fungsi yang Terdiferensial

 

Teorema Rolle

Jika fungsi kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka serta , maka terdapat paling sedikit satu titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Rolle untuk fungsi pada interval
   

   Jawab:
   

   kontinu pada interval tertutup
   

   terdiferensial pada interval buka
   

   ;
   

   
    

   
    

   
    

   Jadi nilai yang memenuhi Teorema Rolle adalah karena terletak di dalam interval buka .
   

   
    

2. Apakah fungsi-fungsi berikut memenuhi Teorema Rolle?
   

a.    

b.    

    Jawab:

a.     atau

    Jadi fungsi terletak pada interval tertutup tetapi fungsi diskontinu pada , sehingga fungsi ini tidak memenuhi Teorema Rolle.

 

b.     atau

    Jadi fungsi ini juga terletak pada interval tertutup tetapi fungsi diskontinu pada , namun tidak terletak dalam interval tertutup .

 

gunakan rumus abc, diperoleh

    Jadi ada titik sedemikian sehingga .

    Maka fungsi ini memenuhi Teorema Rolle.

 

 

Teorema Lagrange

Jika fungsi kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka , maka terdapat paling sedikit satu titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Lagrange, diberikan fungsi , , .
   

   Jawab:
   

Fungsi kontinu pada interval tertutup

Fungsi terdiferensial pada interval buka

 

 

 

 

 

Jadi nilai yang memenuhi Teorema Lagrange adalah .

1. Gunakan Teorema Lagrange untuk menghitung .
   

   Jawab:
   

   Misalkan , , , maka
   

   
    

   
    

   
    

   
    

   terletak di antara 64 dan 65 (). Karena tidak diketahui, ambil , maka
   

   
    

   
    

   Jadi,
   

   
    

   
    

Teorema Cauchy

Jika fungsi dan kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka , dan di setiap titik dan , maka terdapat titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Cauchy, diberikan fungsi , , .
   

   Jawab:
   

Fungsi dan kontinu pada interval tertutup

Fungsi dan terdiferensial pada interval buka

Di setiap titik , , maka

 

 

 

 

Jadi nilai yang memenuhi Teorema Cauchy adalah .