Teorema-teorema pada Fungsi-fungsi yang Terdiferensial

 

Teorema Rolle

Jika fungsi kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka serta , maka terdapat paling sedikit satu titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Rolle untuk fungsi pada interval
   

   Jawab:
   

   kontinu pada interval tertutup
   

   terdiferensial pada interval buka
   

   ;
   

   
    

   
    

   
    

   Jadi nilai yang memenuhi Teorema Rolle adalah karena terletak di dalam interval buka .
   

   
    

2. Apakah fungsi-fungsi berikut memenuhi Teorema Rolle?
   

a.    

b.    

    Jawab:

a.     atau

    Jadi fungsi terletak pada interval tertutup tetapi fungsi diskontinu pada , sehingga fungsi ini tidak memenuhi Teorema Rolle.

 

b.     atau

    Jadi fungsi ini juga terletak pada interval tertutup tetapi fungsi diskontinu pada , namun tidak terletak dalam interval tertutup .

 

gunakan rumus abc, diperoleh

    Jadi ada titik sedemikian sehingga .

    Maka fungsi ini memenuhi Teorema Rolle.

 

 

Teorema Lagrange

Jika fungsi kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka , maka terdapat paling sedikit satu titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Lagrange, diberikan fungsi , , .
   

   Jawab:
   

Fungsi kontinu pada interval tertutup

Fungsi terdiferensial pada interval buka

 

 

 

 

 

Jadi nilai yang memenuhi Teorema Lagrange adalah .

1. Gunakan Teorema Lagrange untuk menghitung .
   

   Jawab:
   

   Misalkan , , , maka
   

   
    

   
    

   
    

   
    

   terletak di antara 64 dan 65 (). Karena tidak diketahui, ambil , maka
   

   
    

   
    

   Jadi,
   

   
    

   
    

Teorema Cauchy

Jika fungsi dan kontinu pada interval tertutup dan terdiferensial pada interval buka , dan di setiap titik dan , maka terdapat titik sedemikian sehingga .

 

1. Carilah nilai yang memenuhi Teorema Cauchy, diberikan fungsi , , .
   

   Jawab:
   

Fungsi dan kontinu pada interval tertutup

Fungsi dan terdiferensial pada interval buka

Di setiap titik , , maka

 

 

 

 

Jadi nilai yang memenuhi Teorema Cauchy adalah .

 

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya.

Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.
Daftar isi
[sembunyikan]

* 1 Klasifikasi segitiga
* 2 Lingkaran dalam dan luar segitiga
* 3 Mencari luas dan keliling segitiga
* 4 Dalil Pythagoras
* 5 Lihat pula

[sunting] Klasifikasi segitiga

Menurut panjang sisinya:

* Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.
* Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
* Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

Equilateral Triangle Isosceles triangle Scalene triangle
Segitiga sama sisi Segitiga sama kaki Segitiga sembarang

Menurut besar sudut terbesarnya:

* Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring.
* Segitiga lancip adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya < 90o
* Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya > 90o

Right triangle Obtuse triangle Acute triangle
Segitiga siku-siku Segitiga tumpul Segitiga lancip
[sunting] Lingkaran dalam dan luar segitiga

Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari dengan rumus:

r = \frac{L}{s}\, dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.

Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jadi lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:

R = \frac{a.b.c}{4.L}\, dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.

[sunting] Mencari luas dan keliling segitiga

* Luas = \frac{alas.tinggi}{2}\,
* Keliling = sisi1 + sisi2 + sisi3\,

Teorema Heron

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

* s = \frac{1}{2} keliling = \frac{a+b+c}{2}\,
* Luas = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,

Segitiga sama sisi

Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:

* Luas = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}\,
* Keliling = 3.a\,

[sunting] Dalil Pythagoras
Segitiga siku-siku

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa: c^2 = a^2 + b^2\,

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.
[sunting] Lihat pula

* Trigonometri
* Hukum sinus
* Hukum cosinus

DERET

Deret terdiri dari 3 bagian, yaitu deret aritmatika (hitung), deret geometri (ukur) dan deret geometri yg tak hingga.

Kunci dari soal deret adalah memahami soalnya. Biasanya untuk deret yg tak hingga (terutama matematika IPA), nilai rasionya (r) harus ditentukan lebih dulu dengan mencari SUKU KE 1 DAN SUKU BERIKUTNYA SAJA. Karena r = u2/u1.
NB : kadang ada soal yg menyangkut deret hitung dan deret ukur sekaligus dan terkadang dua suku yg berurutan tidak diketahui.
Yang perlu diingat :
Akan muncul dua variabel, dua variabel akan dapat diselesaikan dengan mencari DUA PERSAMAAN.

Contoh :
Ada tiga angka yg membentuk deret hitung dengan jumlah 15, bila suku kedua deret tersebut dikurangi satu, maka ketiga angka tersebut akan membentuk deret ukur dengan jumlah 14. Berapakah selisih suku pertama dan ketiganya?.
Jawab :
Yang perlu dipikirkan pertama kali adalah selisih dari suku pertama dan suku ketiga pada DERET HITUNG, sebab fokus soal ini mengacu padanya.
Perhatikan bahwa deret hitung memiliki beda yang sama sedangkan deret ukur memiliki perbandingan yang sama. Karena disini ada dua persamaan, kita pikirkan dua variabel.
Misalkan deret aritmatikanya (a-b)+a+(a+b)=15, maka 3a=15, atau a=5. (Ingat ini suku keduanya, karena letaknya di tengah !!!). Untuk suku kedua deret geometri, nilai a tinggal dikurangi 1, maka a=4.
Deret geometri itu dimisalkan a/r + a + ar = 14, karena a=4, maka :
4/r + 4 + 4r = 14, kalikan dg r, maka 4+4r+4r^2 = 14r atau 4r^2 - 10r + 4 = 0, dan dg pemfaktoran akan didapat r1=0,5 dan r2=2. Dapat kita ambil salah satu, misalkan r=2, maka suku-suku deret geometri itu adalah 2, 4, 8. Sedangkan suku-suku deret aritmatikanya adalah : 2, 5, 8. Maka selisih suku pertama dan ketiganya adalah 8 - 2 = 6.

Mencari suku ke-n bila jumlah sampai n diketahui :
Sn = an^2 + mn
maka Un = 2anx + |a-m|
Contoh :
Sn = 3n^2 + 4n
maka Un = 6n + 1.

Soal deret tak hingga :
Sebuah segienam dg jari-jari r cm, pada tengah-tengah sisinya dihubungkan sehingga membentuk segienam baru didalamnya. Demikian seterusnya sampai tak hingga. Jumlah seluruh sisi luar segienam tersebut adalah : ...
Jawab :
Perhatikan bahwa sudut juringnya semua sama yaitu 60¤. Bila dibagi dua ya tentunya 30¤. Panjang AB=AO= r cm. Panjang OK=KL akan dicari dengan mengunakan sudut alpa.
Manfaatkan dulu dari sisi yg gampang diketahui yaitu OK (BK = r/2 dan sin (alpa) = sin 30¤ = 1/2, maka OK = r(akar3)/2 (dari r cos alpa), berarti KL = r(akar3)/2 juga.
Dari sini akan kita cari rasionya. Untuk deret yg tak hingga kita hanya butuh dua suku yang berurutan saja untuk mencari rasionya r = Un+1 / Un.
Suku pertama (a) adalah 6r cm dan rasionya r = 3r.akar3/6r = (akar3)/2.
Masukan ke rumus Sn = a/(1-r), maka akan didapat :
Sn = 6r/(1-akar3/2) = [2 + (12akar3)/7]r cm.

TRIGONOMETRI

Rumus-rumus trigonometri yg bermacam-macam (penambahan/pengurangan dua sudut, sudut ganda, dsb) dilihat lagi. Ini penting untuk mendukung kelancaran penghitungan soal-soal trigonometri !!!
Jangan sampai lupa dengan :
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin 2a = 2 sin a cos b
dan sebagainya ...(coba dilihat lagi rumus-rumusnya).

Mencari nilai trigonometri dari sudut > 90¤ :
1. Tentukan nilai (+) atau (-) nya (ingat sudut pada kuadran ke berapa dan soalnya berupa apa).
2. Soal diubah atau tidak (diubah bila sudut terletak pada kuadran genap, sin menjadi cos, cos menjadi sin, tg men ctg).
3. Jadikan sudutnya menjadi 2 angka dg cara menjumlahkan dari depan.

Contoh :
Tentukan nilai dari sin 330¤
Gunakan cara diatas :
1. Nilainya adalah (-), (330¤ pada kuadran 4 dan soalnya sinus).
2. Soal diubah menjadi cos (kuadran 4 adalah kuadran genap).
3. 330¤ diubah menjadi 60¤ (angka 6 berasal dari 3+3). Maka sin 330¤ = -cos 60¤ = -0,5
ingat !
Kuadran 1 :
sin (+), cos (+), tg (+).
Kuadran 2 :
sin (+), cos (-), tg (-).
Kuadran 3 :
sin (-), cos (-), tg (+).
Kuadran 4 :
sin (-), cos (+), tg (-).

Bentuk y = A cos (kx + teta) + b
(di sini soal dapat berupa cos atau sin, untuk tg karakteristiknya berbeda).
A : amplitudo (simpangan terjauh dari sikap seimbang)
k : angka gelombang (dalam satu periode (sin dan cos 360¤), terjadi k kali panjang gelombang), k = 360¤/T.
teta : pergesaran sudut (fase), (+) berarti kurva bergeser ke kiri dan sebaliknya.
b : pergeseran garis/sikap seimbang dari kurva, (+) berarti geser ke atas.

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat pada prinsipnya sama dg persamaan kuadrat hanya perlu diperhatikan daerah positif dan daerah negatifnya.
Langkah-langkah penyelesaian :
1. Cari nilai X1 dan X2 (dg faktorisasi atau rumus abc).
2. Plotkan X1 dan X2 pada garis bilangan.
3. Buat kurva parabola yg terbuka ke atas atau ke bawah (tergantung nilai a) dg X1 dan X2 sebagai titik potong.
4. Daerah dimana kurva berada di atas garis bilangan adalah daerah positif dan sebaliknya.
Contoh :
Tentukan nilai X agar X^2 - X - 2 > 0
maka :
X1 = -1 dan X2 = 2
HP { X |X < -1 atau X > 2, X elemen R}.

Persamaan kuadrat

Rumus umum : aX^2 + bX + c = 0
a : menentukan arah terbukanya parabola (a>0 terbuka ke atas dan sebaliknya).
b : geser kanan kirinya kurva parabola (ingat sumbu simetri : x = -b/2a).
c : titik potong kurva parabola dg sumbu Y.
D = b^2 - 4ac : menentukan sifat dari akar-akar persamaan parabola (X1 dan X2).
Contoh :
Parabola terbuka keatas, tergeser kekanan dan memotong sumbu Y pada daerah positif.
Analisisnya :
a>0, karena terbuka keatas,
b>0, karena parabola tergeser kekanan, sumbu simetrinya positif, karena nilai a positif, maka b harus (+).
c>0, karena kurva memotong sumbu Y di daerah positif.
D=0, karena kurva memotong sumbu X pada tempat yang sama (X1 dan X2).

PENTING !!!
Untuk kasus D<0, maka nilai X1 dan X2 tidak ada (imajiner). Kejadian ini disebut DEVINIT (dapat+ atau -). Artinya berapapun harga yg kita masukan dalam variabel X, hasilnya selalu (+) atau selalu (-).
Contoh :
Dalam f(X) = X^2 + X + 1, berapun harga kita masukan dalam X, hasilnya akan selalu positif, karena persamaan tersebut adalah DEFINIT POSITIF (D<0, dan a>0).
Pada prinsipnya yang namanya definit, D harus < 0, sedangkan negatifnya tinggal mengikuti a-nya saja. (Definit negatif, D<0 dan a<0). Yang penting juga bahwa pengertian definit ini sering dipakai dalam pecahan dimana pembilang atau penyebutnya berupa persamaan kuadrat, dan pecahan ini biasanya merupakan soal pertidaksamaan pula. Sehingga kalau soalnya misalnya > 0, maka pembilang dan penyebutnya harus bertanda sama (sama-sama < 0 atau > 0).!!!

Rumus-rumus dengan X1 dan X2 :
X1 + X2 = -b/a
X1 . X2 = c/a
X1 - X2 = (akar D)/a
Rumus mencari persamaan kuadrat bila X1 dan X2 diketahui :
X^2 - (X1+X2)X + X1.X2 = 0
Contoh :
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar -2 dan 5 adalah :
X^2 - (-2+5)X + (-2.5) = X^2 - 3X - 10 = 0

Soal Matematika SMP

1. Jika suhu suatu cairan berubah dari -10 derajat Celsius menjadi -3 derajat celsius maka kenaikan suhu itu adalah ...
2. Himpunan semua faktor dari 20 adalah ...
3. Hasil dari 53,56 - 36,973 adalah ...
4. Seseorang mendapat tugas menyalakan lampu senter setiap 8 detik sekali, dan orang kedua bertugas menyalakannya setiap 18 detik sekali. Bila kedua orang tersebut mulai menyalakan pada saat yang sama maka kedua orang tersebut akan menyalakan secara bersama untuk ketiga kalinya adalah ...
5. (2,7)^2-(1,3)^2+akar 5,76 = ...
6. KPK dari 54(a^2)b dan 120a(b^3) adalah ...
7. Suatu turnamen catur ditentukan bahwa peserta yang menang memperoleh nilai 5, peserta yang seri mendapat nilai 2, dan peserta yang kalah mendapat nilai -1. Jika hasil 6 pertandingan seorang peserta menang 3 kali dan kalah 2 kali maka nilai yang di peroleh peserta tersebut adalah ...
8. Anita akan membagikan 32 m kain kepada teman-temannya. Apabila setiap anak mendapat 4/5 m maka banyak teman Anita yg mendapat pembagian kain adalah ...
9. Bentuk baku dari 107.000.000 adalah ...
10. Jika a/3 = b/3 = c/3 maka a/(a+b-c) = ...